fungere , i matematik, et udtryk, en regel eller en lov, der definerer et forhold mellem en variabel (den uafhængige variabel) og en anden variabel (den afhængige variabel). Funktioner er allestedsnærværende i matematik og er essentielle for formulering af fysiske forhold inden for videnskaberne. Den moderne definition af funktion blev først givet i 1837 af den tyske matematiker Peter Dirichlet:
Hvis en variabel Y er så relateret til en variabel x at når en numerisk værdi tildeles x , der er en regel, ifølge hvilken en unik værdi af Y er bestemt, så Y siges at være en funktion af den uafhængige variabel x .
de tre femtedels kompromis havde at gøre med
Dette forhold er almindeligt symboliseret som Y = f ( x ). I tillæg til f ( x ), andre forkortede symboler såsom g ( x ) og P ( x ) bruges ofte til at repræsentere funktioner i den uafhængige variabel x , især når funktionens art er ukendt eller uspecificeret.
Mange almindeligt anvendte matematiske formler er udtryk for kendte funktioner. For eksempel formlen for området for en cirkel, TIL = π r to, giver den afhængige variabel TIL (området) som en funktion af den uafhængige variabel r (radius). Funktioner, der involverer mere end to variabler, er også almindelige i matematik, som det kan ses i formlen for området af en trekant, TIL = b h / 2, som definerer TIL som en funktion af begge b (base) og h (højde). I disse eksempler tvinger fysiske begrænsninger de uafhængige variabler til at være positive tal. Når de uafhængige variabler også får lov til at påtage sig negative værdier - altså ethvert reelt tal - er funktionerne kendt som reelle værdiansatte funktioner.
Formlen for en cirkels areal er et eksempel på en polynomfunktion. Den generelle form for sådanne funktioner er P ( x ) = til 0+ til 1 x + til to x to+ ⋯ + til n x n ,hvor koefficienterne ( til 0, til 1, til to, ..., til n ) er givet, x kan være ethvert reelt tal og alle beføjelser fra x tæller tal (1, 2, 3,…). (Når beføjelserne til x kan være ethvert reelt tal, resultatet er kendt som en algebraisk funktion.) Polynomiske funktioner er blevet undersøgt siden de tidligste tider på grund af deres alsidighed - praktisk talt ethvert forhold, der involverer reelle tal, kan tilnærmes tæt ved en polynomfunktion. Polynomfunktioner er karakteriseret ved den uafhængige variabels højeste styrke. Særlige navne bruges almindeligvis til sådanne kræfter fra en til fem — lineære, kvadratiske, kubiske, kvartiske og kvintiske.
Polynomiske funktioner kan gives geometrisk repræsentation ved hjælp af analytisk geometri. Den uafhængige variabel x er plottet langs x -aks (en vandret linje) og den afhængige variabel Y er plottet langs Y -aks (en lodret linje). Funktionens graf består derefter af punkterne med koordinater ( x , Y ) hvor Y = f ( x ). For eksempel grafen for den kubiske ligning f ( x ) = x 3- 3 x + 2 er vist i.
hvilket element er klassificeret som et alkalimetal?
kubisk ligning Plot af den kubiske ligning f ( x ) = x 3- 3 x + 2. De afbildede punkter er, hvor ændringer i krumning forekommer. Encyclopædia Britannica, Inc.
En anden almindelig type funktion, der er blevet undersøgt siden antikken, er de trigonometriske funktioner, såsom synd x og cos x , hvor x er målingen for en vinkel ( se ). På grund af deres periodiske karakter bruges trigonometriske funktioner ofte til at modellere adfærd, der gentages eller cykler. Ikke-gebraiske funktioner, såsom eksponentielle og trigonometriske funktioner, er også kendt som transcendentale funktioner.
grafer over nogle trigonometriske funktioner Bemærk, at hver af disse funktioner er periodiske. Således gentager sinus- og cosinusfunktionerne hver 2π, og tangent- og cotangentfunktionerne gentager hver π. Encyclopædia Britannica, Inc.
Praktiske anvendelser af funktioner, hvis variabler er komplekse tal, er ikke så lette at illustrere, men de er ikke desto mindre meget omfattende. De forekommer for eksempel inden for elektroteknik og aerodynamik. Hvis den komplekse variabel er repræsenteret i formen med = x + jeg Y , hvor jeg er den imaginære enhed (kvadratroden af −1) og x og Y er reelle variabler ( se ), er det muligt at opdele den komplekse funktion i reelle og imaginære dele: f ( med ) = P ( x , Y ) + jeg Q ( x , Y ).
punkt i det komplekse plan Et punkt i det komplekse plan. I modsætning til reelle tal, som kan placeres ved et enkelt underskrevet (positivt eller negativt) tal langs en talelinje, kræver komplekse tal et plan med to akser, en akse for det reelle tal og en akse for den imaginære komponent. Selvom det komplekse plan ligner det almindelige to-dimensionelle plan, hvor hvert punkt bestemmes af et ordnet par reelle tal ( x , Y ), pointen x + jeg Y er et enkelt nummer. Encyclopædia Britannica, Inc.
Ved at udveksle rollerne for de uafhængige og afhængige variabler i en given funktion kan man opnå en invers funktion. Inverse funktioner gør hvad deres navn antyder: de fortryder en funktions handling for at returnere en variabel til dens oprindelige tilstand. Således, hvis for en given funktion f ( x ) der findes en funktion g ( Y ) sådan at g ( f ( x )) = x og f ( g ( Y )) = Y , derefter g kaldes den omvendte funktion af f og givet notationen f −1hvor variablerne ved konvention udskiftes. For eksempel funktionen f ( x ) = 2 x har den omvendte funktion f −1( x ) = x /to.
En funktion kan defineres ved hjælp af en strømserie. For eksempel den uendelige serie 
kunne bruges til at definere disse funktioner til alle komplekse værdier af x . Andre typer serier og også uendelig produkter kan bruges, når det er praktisk. Et vigtigt tilfælde er Fourier-serien, der udtrykker en funktion i form af sines og cosinus: 
hvilket er rollen som restriktionsenzymer
Sådanne repræsentationer er af stor betydning i fysikken, især i studiet af bølgebevægelse og andre oscillerende fænomener.
Nogle gange defineres funktioner mest bekvemt ved hjælp af differentialligninger. For eksempel, Y = uden x er løsningen på differentialligningen d to Y / d x to+ Y = 0 har Y = 0, d Y / d x = 1 når x = 0; Y = cos x er løsningen af den samme ligning, der har Y = 1, d Y / d x = 0 når x = 0.
