Vide, hvordan civil- og miljøteknikere forstår mekanikken i tynde strukturer, og hvordan de bruger geometri til at studere deformationsprocessen. Undersøg, hvordan civil- og miljøteknikere bruger geometri til at studere deformationsprocesser i projekter af forskellige skalaer. Massachusetts Institute of Technology (En Britannica Publishing Partner) Se alle videoer til denne artikel
der skabte ugedagene
Geometri , den gren af matematik, der beskæftiger sig med formen på individuelle objekter, rumlige forhold mellem forskellige objekter og egenskaberne i det omgivende rum. Det er en af de ældste grene af matematik, der er opstået som reaktion på sådanne praktiske problemer som dem, der findes i landmåling, og dens navn er afledt af græske ord, der betyder jordmåling. Til sidst blev det klar over, at geometri ikke behøver at være begrænset til studiet af flade overflader (plan geometri) og stive tredimensionelle objekter (solid geometri), men at selv de mest abstrakte tanker og billeder kan repræsenteres og udvikles i geometriske termer.
Denne artikel begynder med en kort vejledning til de største grene af geometri og fortsætter derefter til en omfattende historisk behandling. For information om specifikke grene af geometri, se Euklidisk geometri, analytisk geometri, projektiv geometri, differentiel geometri, ikke-euklidisk geometri og topologi.
I flere gamle kulturer der udviklede en form for geometri, der passer til forholdet mellem længder, områder og volumener af fysiske objekter. Denne geometri blev kodificeret i Euclids Elementer omkring 300bcepå basis af 10 aksiomer eller postulater, hvoraf flere hundrede sætninger blev bevist ved deduktiv logik. Det Elementer indbegrebet den aksiomatisk-deduktive metode i mange århundreder.
Analytisk geometri blev initieret af den franske matematiker René Descartes (1596–1650), der introducerede rektangulære koordinater for at lokalisere punkter og for at gøre det muligt for linjer og kurver at blive repræsenteret med algebraiske ligninger. Algebraisk geometri er en moderne udvidelse af emnet til flerdimensionelle og ikke-euklidiske rum.
Projektiv geometri stammer fra den franske matematiker Girard Desargues (1591–1661) for at håndtere de egenskaber ved geometriske figurer, der ikke ændres ved at projicere deres billede eller skygge på en anden overflade.
Den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777–1855), i forbindelse med praktiske problemer med landmåling og geodesi, indledte området for differentiel geometri. Ved hjælp af differentieret beregning karakteriserede han iboende egenskaber ved kurver og overflader. For eksempel viste han, at den indre krumning af en cylinder er den samme som for et plan, hvilket kan ses ved at skære en cylinder langs dens akse og flade, men ikke den samme som en kugle , som ikke kan flades uden forvrængning.
Begyndende i det 19. århundrede erstattede forskellige matematikere alternativer til Euclids parallelle postulat, som i sin moderne form læser, givet en linje og et punkt ikke på linjen, er det muligt at trække nøjagtigt en linje gennem det givne punkt parallelt med linjen. De håbede at vise, at alternativerne var logisk umulige. I stedet opdagede de, at der findes ensartede ikke-euklidiske geometrier.
Topologi, den yngste og mest sofistikerede gren af geometri, fokuserer på egenskaberne af geometriske objekter, der forbliver uændrede ved kontinuerlig deformation - skrumpende, strækning og foldning, men ikke rive. Den kontinuerlige udvikling af topologi stammer fra 1911, da den hollandske matematiker L.E.J. Brouwer (1881–1966) introducerede metoder, der generelt er relevante for emnet.
De tidligste kendte entydige eksempler på skriftlige optegnelser - fra Egypten og Mesopotamien omkring 3100bce- demonstrer, at gamle folk allerede var begyndt at udvikle matematiske regler og teknikker, der var nyttige til landmåling af landområder, opførelse af bygninger og måling af opbevaringsbeholdere. Begyndende omkring det 6. århundredebce, samlede grækerne og udvidede denne praktiske viden og ud fra det generaliserede det abstrakte emne, der nu er kendt som geometri, fra kombinationen af de græske ord geo (Jorden) og metron (mål) til måling af Jorden.
matematikere fra den græsk-romerske verden Dette kort spænder over et årtusinde af fremtrædende græsk-romerske matematikere, fra Thales fra Miletus (ca. 600bce) til Hypatia of Alexandria (ca. 400det her). Encyclopædia Britannica, Inc.
Ud over at beskrive nogle af de antikke grækeres præstationer, især Euclids logiske udvikling af geometri i Elementer , denne artikel undersøger nogle anvendelser af geometri til astronomi, kartografi og maleri fra klassisk Grækenland gennem middelalderlig Islam og renæssance Europa. Det afsluttes med en kort diskussion af udvidelser til ikke-euklidiske og flerdimensionelle geometrier i den moderne tidsalder.
Oprindelsen til geometri ligger i hverdagens bekymringer. Den traditionelle beretning, bevaret i Herodot Historie (5. århundredebce), krediterer egypterne opfindelsen af landmåling for at genoprette ejendomsværdier efter den årlige oversvømmelse af Nilen. Tilsvarende iver efter at kende mængderne af faste tal afledt af behovet for at evaluere hyldest, opbevare olie og korn og bygge dæmninger og pyramider. Selv de tre abstruse gamle geometriske problemer - at fordoble a terning , skære en vinkel og kvadrere en cirkel, som alle vil blive diskuteret senere - sandsynligvis opstod fra praktiske forhold, fra religiøst ritual, tidtagning og konstruktion hhv. i prægræske samfund i Middelhavet. Og hovedfaget for senere græsk geometri, teorien om keglesnit, skyldte dens generelle betydning og måske også dens oprindelse til dens anvendelse på optik og astronomi.
Mens mange gamle individer, kendte og ukendte, bidrog til emnet, svarede ingen virkningen af Euclid og hans Elementer af geometri, en bog, der nu er 2.300 år gammel og genstand for så meget smertefuldt og omhyggeligt studium som Bibelen. Meget mindre er kendt om Euclid dog om Moses. Faktisk er det eneste der er kendt med en rimelig grad af tillid, at Euclid underviste på biblioteket i Alexandria under Ptolemaios I's regeringstid (323-285 / 283bce). Euclid skrev ikke kun om geometri, men også om astronomi og optik og måske også om mekanik og musik. Kun den Elementer , som i vid udstrækning blev kopieret og oversat, har overlevet intakt.
Euclids Elementer var så komplet og tydeligt skrevet, at den bogstaveligt talt udslettede hans forgængeres arbejde. Hvad der vides om græsk geometri før ham kommer primært fra bits citeret af Platon og Aristoteles og af senere matematikere og kommentatorer. Blandt andet kostbar genstande, de bevarede, er nogle resultater og den generelle tilgang til Pythagoras ( c. 580– c. 500bce) og hans tilhængere. Pythagoreere overbeviste sig selv om, at alle ting er eller skylder deres forhold til tal. Læren gav matematik den største betydning i efterforskningen og forståelsen af verden. Platon udviklede en lignende opfattelse, og filosoffer, der var påvirket af Pythagoras eller Platon, skrev ofte ekstatisk om geometri som nøglen til fortolkningen af univers . Således fik gammel geometri en tilknytning til sublim for at supplere dets jordiske oprindelse og sit ry som eksemplet på præcis ræsonnement.
Gamle bygherrer og landmålere havde brug for at kunne konstruere rette vinkler i marken efter behov. Metoden, som egypterne anvendte, fik dem navnet rebtrækkere i Grækenland, tilsyneladende fordi de brugte et reb til at lægge deres konstruktionsretningslinjer ud. En måde, hvorpå de kunne have brugt et reb til at konstruere rigtige trekanter, var at markere et løkket reb med knuder, så når rebet blev holdt ved knuderne og trukket stramt, skulle det danne en ret trekant. Den enkleste måde at udføre tricket på er at tage et reb, der er 12 enheder langt, lave en knude 3 enheder fra den ene ende og en anden 5 enheder fra den anden ende og derefter knytte enderne sammen for at danne en løkke som vist i animation. Imidlertid har de egyptiske skriftkloge ikke efterladt os instruktioner om disse procedurer, meget mindre noget antydning til, at de vidste, hvordan de kunne generalisere dem for at opnå den pythagoriske sætning: firkanten på linjen modsat den rette vinkel er lig med summen af firkanterne på de to andre sider. Tilsvarende indeholder de vediske skrifter i det antikke Indien sektioner kaldet sulvasutra s eller regler for rebet til den nøjagtige placering af offeralter. De krævede rette vinkler blev lavet af reb markeret for at give triaderne (3, 4, 5) og (5, 12, 13).
I babylonske lerplader ( c. 1700–1500bce) moderne historikere har opdaget problemer, hvis løsninger indikerer, at Pythagoras sætning og nogle specielle triader var kendt mere end tusind år før Euklid. En højre trekant lavet tilfældigt er dog meget usandsynligt, at alle dens sider kan måles med den samme enhed - det vil sige hver side et heltalsmultipel af en eller anden fælles måleenhed. Denne kendsgerning, der kom som et chok, da den blev opdaget af Pythagoreere, gav anledning til begrebet og teorien om uforlignelighed.
Efter gammel tradition, Thales of Miletus, der boede før Pythagoras i det 6. århundredebce, opfandt en måde at måle utilgængelige højder på, såsom de egyptiske pyramider. Selvom ingen af hans skrifter overlever, kan Thales meget vel have vidst om en babylonisk observation, at længden af hver tilsvarende side øges (eller formindskes) med samme multipel for lignende trekanter (trekanter med samme form, men ikke nødvendigvis den samme størrelse). En bestemmelse af højden på et tårn ved hjælp af lignende trekanter er vist i figuren. De gamle kinesere ankom til mål for utilgængelige højder og afstande ad en anden rute ved hjælp af komplementære rektangler, som det ses i den næstefigur, som kan påvises at give resultater svarende til den græske metode, der involverer trekanter.
En sammenligning af en kinesisk og en græsk geometrisk sætning Figuren illustrerer ækvivalensen af den kinesiske supplerende rektanglesætning og den græske lignende trekantsætning. Encyclopædia Britannica, Inc.
En babylonisk kileskrifttablet, der blev skrevet for cirka 3.500 år siden, behandler problemer med dæmninger, brønde, vandure og udgravninger. Det har også en øvelse på cirkulære kabinetter med en underforstået værdi på π = 3. Entreprenøren til kong Salomons swimmingpool, der lavede en dam 10 alen på tværs og 30 alen omkring (1 Kong 7:23), brugte den samme værdi. Hebræerne skulle dog have taget deres π fra egypterne, før de krydsede det røde Hav til Rhind-papyrus ( c. 2000bce; vores vigtigste kilde til gammel egyptisk matematik) antyder π = 3.1605.
Kendskab til området i en cirkel var af praktisk værdi for embedsmændene, der holdt styr på faraoens hyldest såvel som bygherrer af alter og svømmehaller. Ahmes, skriveren, der kopierede og kommenteret Rhind papyrus ( c. 1650bce), har meget at sige om cylindriske kornkammer og pyramider, hele og afkortede. Han kunne beregne deres volumener, og som det fremgår af hans tage egypteren seked , den vandrette afstand forbundet med en lodret stigning på en alen, som den definerende mængde for pyramidens hældning, vidste han noget om lignende trekanter.
Copyright © Alle Rettigheder Forbeholdes | asayamind.com